高中数学常用公式汇总掌握高中数学公式

文章来源: 未知作者: 网站编辑发布时间：2025-03-08 23:40 阅读：次

　　高中数学涉及的知识点广泛且深入，掌握常用的数学公式是解题的关键。以下是对高中数学常用公式的汇总，涵盖代数、几何、三角学、微积分等多个领域：

　　一、代数公式

　　1. 乘法与因式分解

　　• 平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)

　　• 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2a2−2ab+b2=(a−b)2

　　• 立方和与立方差公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)，a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

　　2. 一元二次方程

　　• 求根公式：x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac

　　• 根与系数的关系（韦达定理）：若方程ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0的两个根为x1x_1x1和x2x_2x2，则x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}x1+x2=−ab，x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}x1⋅x2=ac

　　3. 数列

　　• 等差数列

　　• 通项公式：an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)dan=a1+(n−1)d

　　• 前n项和公式：Sn=n2(a1+an)=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]Sn=2n(a1+an)=2n[2a1+(n−1)d]

　　• 等比数列

　　• 通项公式：an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}an=a1⋅qn−1

　　• 前n项和公式：Sn=a1(1−qn)1−qS_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}Sn=1−qa1(1−qn)（q≠1q \neq 1q=1）

　　4. 函数

　　• 一次函数：y=kx+by = kx + by=kx+b

　　• 二次函数：y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c

　　• 导数公式

　　• (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n - 1}(xn)′=nxn−1

　　• (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx

　　• (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x(cosx)′=−sinx

　　• (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}(lnx)′=x1

　　• (ex)′=ex(e^x)' = e^x(ex)′=ex

　　二、几何公式

　　1. 圆

　　• 面积：S=πr2S = \pi r^2S=πr2

　　• 周长：C=2πrC = 2\pi rC=2πr

　　• 标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2（(a,b)(a, b)(a,b)为圆心坐标）

　　• 一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0D2+E2−4F>0）

　　2. 椭圆

　　• 周长公式（近似）：l=2πb+4(a−b)l = 2\pi b + 4(a - b)l=2πb+4(a−b)（aaa为长半轴，bbb为短半轴）

　　• 面积公式：S=πabS = \pi abS=πab

　　• 标准方程：x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1a2x2+b2y2=1（a>ba > ba>b）

　　3. 抛物线

　　• 顶点式：y=a(x+h)2+ky = a(x + h)^2 + ky=a(x+h)2+k（−h-h−h是顶点坐标的xxx，kkk是顶点坐标的yyy）

　　• 标准方程

　　• 开口向右：y2=2pxy^2 = 2pxy2=2px（焦点为(p2,0)(\frac{p}{2}, 0)(2p,0)，准线为x=−p2x = -\frac{p}{2}x=−2p）

　　• 开口向左：y2=−2pxy^2 = -2pxy2=−2px

　　• 开口向上：x2=2pyx^2 = 2pyx2=2py

　　• 开口向下：x2=−2pyx^2 = -2pyx2=−2py

　　4. 三角形

　　• 面积公式：S=12×底×高S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}S=21×底×高

　　5. 矩形与平行四边形

　　• 矩形面积公式：S=长×宽S = \text{长} \times \text{宽}S=长×宽

　　• 平行四边形面积公式：S=底×高S = \text{底} \times \text{高}S=底×高

　　三、三角学公式

　　1. 基本关系式

　　• sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1sin2A+cos2A=1

　　• tan⁡A=sin⁡Acos⁡A\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}tanA=cosAsinA

　　2. 和差角公式

　　• sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin Bsin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB

　　• cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin Bcos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB

　　• tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}tan(A±B)=1∓tanAtanBtanA±tanB

　　3. 倍角公式

　　• sin⁡2A=2sin⁡Acos⁡A\sin 2A = 2\sin A \cos Asin2A=2sinAcosA

　　• cos⁡2A=cos⁡2A−sin⁡2A=2cos⁡2A−1=1−2sin⁡2A\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 Acos2A=cos2A−sin2A=2cos2A−1=1−2sin2A

　　• tan⁡2A=2tan⁡A1−tan⁡2A\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}tan2A=1−tan2A2tanA

　　4. 半角公式

　　• sin⁡A2=±1−cos⁡A2\sin\frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}sin2A=±21−cosA

　　• cos⁡A2=±1+cos⁡A2\cos\frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}cos2A=±21+cosA

　　• tan⁡A2=±1−cos⁡A1+cos⁡A\tan\frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}}tan2A=±1+cosA1−cosA

　　5. 正弦定理：asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2RsinAa=sinBb=sinCc=2R（RRR为外接圆半径）

　　6. 余弦定理：c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos Cc2=a2+b2−2abcosC

　　四、微积分公式

　　1. 导数的基本公式（已在上文列出部分）

　　2. 不定积分的基本公式

　　• ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C∫xndx=n+1xn+1+C（n≠−1n \neq -1n=−1）

　　• ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \, dx = -\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C

　　• ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C∫cosxdx=sinx+C

　　五、其他公式

　　1. 均值不等式：对于所有非负实数aaa和bbb，有a+b2≥ab\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}2a+b≥ab（当且仅当a=ba = ba=b时取等号）

　　2. 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2

　　3. 集合运算

　　• 交集：A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B \}A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}

　　• 并集：A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B \}A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}

　　• 补集：∁UA={x∣x∈U 且 x∉A}\complement_U A = \{ x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A \}∁UA={x∣x∈U 且 x∈/A}

　　掌握这些常用数学公式，对于提高解题速度和准确率至关重要。建议在学习过程中，结合具体题目进行练习，加深对公式的理解和应用。

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